關(guān)于「零點(diǎn)猜想」問(wèn)題，大海里的針我沒(méi)撈到, 但海底地貌我探得差不多了。

一支馬克筆，一張小白板。

剛剛，張益唐教授現(xiàn)身北大，在B站的直播平臺(tái)上，給廣大網(wǎng)友上了一堂大師級(jí)數(shù)學(xué)課。

授課內(nèi)容大家都知道了，就是最近張教授剛剛?cè)〉玫男峦黄疲豪实?西格爾零點(diǎn)猜想問(wèn)題。

這是張益唐親自對(duì)自己前不久的那篇論文的全面解析。

全程40分鐘，無(wú)廢話無(wú)尿點(diǎn)，硬核知識(shí)拉滿，信息密度極大。

文字實(shí)錄

首先，我得介紹一下這個(gè)問(wèn)題本身。

雖然我的論文已經(jīng)掛到aXiv上了，但還是得介紹一下：什么叫朗道-西格爾零點(diǎn)呢？

對(duì)于這個(gè)狄利克雷L函數(shù)，L(s,χ)的原始定義是這樣的：

分子是χ(n)這個(gè)值，分母就是n的s次方。

此時(shí)，我們只考慮s是個(gè)實(shí)數(shù)的時(shí)候，也就是說(shuō)s=1的時(shí)候，它不等于0。那么s＜1的時(shí)候，就是說(shuō)比1稍微小一點(diǎn)， 它有沒(méi)有可能等于0？

這個(gè)問(wèn)題因?yàn)闋砍兜胶芏鄶?shù)論的東西，所以很重要，但始終沒(méi)有人能夠解決。

只考慮L(s,χ)不等于0的情況——

如果s比1稍微小一點(diǎn)，這個(gè)分母是比較可控的，c是個(gè)常數(shù)

這是一個(gè)猜想，我們說(shuō)這個(gè)猜想比黎曼假設(shè)要弱得多，至少是對(duì)L函數(shù)的黎曼猜想（廣義黎曼猜想）。廣義黎曼猜想是說(shuō)這個(gè)S的實(shí)部大于1/2的話不等于0，但就只是很接近1的時(shí)候不等于0。

這個(gè)猜想本質(zhì)上說(shuō)就是朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題。

這個(gè)問(wèn)題，就是要證明這樣的一類零點(diǎn)是不存在的（尤其是實(shí)零點(diǎn)，虛零點(diǎn)還容易一點(diǎn)）。

那么現(xiàn)在我們能做到什么程度呢？應(yīng)該說(shuō)本質(zhì)上我們至少證明了這樣一個(gè)東西

這個(gè)2024就像孿生素?cái)?shù)里面的情況一樣，是可以改進(jìn)的。

前兩天消息剛傳出來(lái)的時(shí)候，很多人不是做數(shù)學(xué)的，所以不理解這個(gè)朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題解決的是什么，甚至有人以為就是證明了黎曼假設(shè)是錯(cuò)的。

這個(gè)我得說(shuō)一句：我可沒(méi)有這個(gè)本事（笑）。我只是在一定范圍內(nèi)部分地證明了黎曼假設(shè)應(yīng)該是對(duì)的。如果說(shuō)我推翻了黎曼假設(shè)，那應(yīng)該是沒(méi)什么人會(huì)相信。

在這篇論文第二節(jié)的結(jié)尾，我引進(jìn)了三個(gè)proposition，都是不等式。這三個(gè)不等式合在一起后，如果說(shuō)朗道-西格爾零點(diǎn)存在的話，就可以得出一個(gè)矛盾。

而這個(gè)講起來(lái)就是一個(gè)非常非常復(fù)雜的東西，要講清楚也不容易，但是我可以講一講，這里面它的一個(gè)基本思路，講一下它最后的歸結(jié)。最后就是歸結(jié)到這樣一個(gè)事情上——

怎么會(huì)歸結(jié)到這個(gè)事情上呢？

對(duì)于一個(gè)有限的實(shí)數(shù)序列χn，怎么樣證明它并不是非負(fù)的？

這就是要去證明其中有一個(gè)（至少有一個(gè)）χn是小于0的。

說(shuō)起來(lái)這個(gè)問(wèn)題是什么呢？有點(diǎn)不著邊際。

但事實(shí)上很有意思，在數(shù)論中，特別是解析中，很多東西可以歸結(jié)到這么一個(gè)問(wèn)題。

于是我們就需要發(fā)展一個(gè)技巧，來(lái)證明這個(gè)東西是不等于0的。

第一個(gè)例子，我們就說(shuō)一個(gè)偶數(shù)N（一個(gè)比較大的偶數(shù)），我們用ρ(n)定義這個(gè)素?cái)?shù)的特征函數(shù)，都是定義在正整數(shù)上。

如果n是素?cái)?shù)，ρ(n)等于1，如果n不是素?cái)?shù)，ρ(n)就等于0。

就可以得到

我們說(shuō)這個(gè)序列會(huì)什么樣？

一般情況下，它可能等于1，也可能等于0， 但它有沒(méi)有可能是負(fù)的呢？

很明顯如果ρ(n)是負(fù)的，它必須等于-1，而且他負(fù)的充要條件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素?cái)?shù)。這時(shí)候χn才可能是負(fù)的，正好等于-1。

很明顯，N永遠(yuǎn)是等于n+(N-n)，也就是N就是一個(gè)素?cái)?shù)加上另外一個(gè)素?cái)?shù)。

就是說(shuō)如果在這個(gè)序列（1＜n＜N）里，有某一個(gè)χn是小于0的話，充要條件是N是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。

所以哥德巴赫猜想最后就可以歸結(jié)到我們來(lái)構(gòu)建這樣一個(gè)有限序列，這里頭是不是有這么一個(gè)小于0的數(shù)？如果有的話，哥德巴赫猜想就是對(duì)的。

那么，是不是還有別的問(wèn)題也是這樣呢？

其實(shí)假如我們對(duì)孿生素?cái)?shù)猜想給出一個(gè)弱結(jié)果，那么也會(huì)是這樣的，也就是造成這么一個(gè)χn。

它這個(gè)定義也是

如果這里面有兩個(gè)是素?cái)?shù)，那么χn就嚴(yán)格小于0；如果只有一個(gè)素?cái)?shù)，那么就等于0；如果沒(méi)有就大于0。

所以在這樣一個(gè)序列里面，我們可以人為地把n的范圍給它確定，里面有沒(méi)有負(fù)的？這就是我們?cè)趯\生素?cái)?shù)研究下取得的突破。我們的出發(fā)點(diǎn)就是這個(gè)東西。

話再說(shuō)回來(lái)，怎么樣去證明某一個(gè)χn是小于0，我們就給出了一個(gè)很簡(jiǎn)單的數(shù)列，哪怕里面有10000個(gè)數(shù)，我們也可以寫(xiě)出來(lái)這里面是不是有一個(gè)是負(fù)的，這很簡(jiǎn)單。

但我們這里考慮的都是理論性的問(wèn)題，N是一個(gè)很大的數(shù)，怎么樣去定義這個(gè)東西等于0。

這是第一個(gè)例子。實(shí)際上它既包括了哥德巴赫猜想，也包括了孿生素?cái)?shù)弱結(jié)果的研究。

第二個(gè)例子是一個(gè)純公式的例子，它跟我要做的事情是相關(guān)的。

如果有一個(gè)Assumption，我們就假定ρ(n+1)>ρn+c——

也就是說(shuō)零點(diǎn)的間隔比c要大，那么我們也可以把它歸結(jié)成——

其中，f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。

為什么這么說(shuō)呢？因?yàn)殡S便一個(gè)ρn，從ρn到ρn+c之間，他一定沒(méi)有零點(diǎn)。而ρn+a和ρn+b一定在這段之間，因?yàn)閒是連續(xù)函數(shù)，所以他們的乘積一定是大于等于0的。

所以如果我們要證明assumption是不對(duì)的，可能有零點(diǎn)的間隔比c要小。如果我能夠證明有一個(gè)χn是負(fù)的，只要證明它≤0，那這個(gè)assumption就錯(cuò)了。

如果我想證明的話，我就得去弄。

那么究竟我們需要怎么處理這個(gè)問(wèn)題呢？

要證明有限的實(shí)數(shù)序列不是非負(fù)的，里面至少有一個(gè)是嚴(yán)格小于0的，怎么去證明呢？

我們常用的處理方法是這樣：

我們找一組新的實(shí)數(shù)序列{yn}，它要滿足兩個(gè)條件。第一：yn≥0，第二個(gè)：∑xnyn＜0。只要能找到這樣一組yn，這問(wèn)題就解決了。

那這里頭肯定有一項(xiàng)是嚴(yán)格小于0的，但yn是大于等于0，那么xn必須是小于0的。這就解決了傳統(tǒng)要去做的事情。

可是怎么去選yn呢？這就牽扯到整個(gè)篩法發(fā)展的歷史了。

最早是挪威數(shù)學(xué)家Brown在一個(gè)世紀(jì)前，應(yīng)該在1917、18年的時(shí)候他找到了一組yn。這組yn的表述是很復(fù)雜的，但滿足這類條件。

然后他用這個(gè)條件能推出9+9，在當(dāng)時(shí)來(lái)講是不可思議的，是一個(gè)驚人的構(gòu)造。

后來(lái)，到了20世紀(jì)40年代末，另外一個(gè)挪威數(shù)學(xué)家叫塞爾伯格，他想得就比較簡(jiǎn)單，他說(shuō)干脆我就去構(gòu)造一組實(shí)數(shù)序列zn，zn是實(shí)數(shù)就行，沒(méi)有任何限制。

然后把yn取成zn平方，于是第一個(gè)條件就自然滿足了——實(shí)數(shù)的平方必然是大于等于0的。

于是問(wèn)題就變成了，能不能得出下式小于0？

這里要牽扯到孿生素?cái)?shù)猜想最近的進(jìn)步，特別是梅納德最近的貢獻(xiàn)（他最近得了菲爾茲數(shù)學(xué)獎(jiǎng)）。

xn的取值與孿生數(shù)有關(guān)，我們希望這里面至少有一個(gè)是負(fù)的，然后是求和。

在我之前有三個(gè)數(shù)學(xué)家，他們找到一組zn，能夠證明這個(gè)和非常切近0，并且可以做到讓?duì)湃我庑　?/span>

但是小于0這一步他們?cè)趺匆部绮贿^(guò)去。

而這里的主要障礙就是，他們要用到素?cái)?shù)在等差級(jí)數(shù)里的分布，那里頭有個(gè)限制就是有一個(gè)exponent指數(shù)，它不能超過(guò)1/2，否則余項(xiàng)就控制不住。

于是他們就跨在這個(gè)邊上，用他們的話來(lái)說(shuō)差一根頭發(fā)絲就能跨過(guò)去了，但這個(gè)頭發(fā)絲就沒(méi)跨過(guò)去。

然后再下一步是我的工作：

我的工作從單獨(dú)意義上來(lái)講，在等差級(jí)數(shù)分布的問(wèn)題上，應(yīng)該是第一次突破了指數(shù)等于1/2的界限，就是說(shuō)可以把這個(gè)指數(shù)取到比1/2再大一點(diǎn)。但我用的zn基本上還是他們引進(jìn)的。

后來(lái)梅納德就把這個(gè)問(wèn)題改進(jìn)了一大步，他引進(jìn)了一種新的zn，最后能夠證出這個(gè)孿生素?cái)?shù)的弱形式，最后我們都是歸結(jié)到這樣一個(gè)不等式。

下面我們?cè)倩氐嚼实?西格爾零點(diǎn)，

我們也去構(gòu)造像例2中實(shí)的連續(xù)函數(shù)，如果兩個(gè)點(diǎn)中間沒(méi)有零點(diǎn)的話，它們就是同號(hào)，它們的乘積應(yīng)該就是非負(fù)的。

在論文的引理2.3中，我給出了這么一個(gè)東西，那么我就是要證明這么一個(gè)事情——

如果存在朗道-西格爾零點(diǎn)，就推出

我想證明這個(gè)東西

是錯(cuò)的，也就是說(shuō)我能證明

這個(gè)里面有一個(gè)是負(fù)的話，就可以了。

我花了很長(zhǎng)時(shí)間，去證明下面這個(gè)結(jié)果是小于0的。

我找了很多很多這樣的東西，發(fā)現(xiàn)一些非常有意思的事情：我沒(méi)能直接證明它是小于0的，但我發(fā)現(xiàn)對(duì)很多zn它接近0。

它會(huì)小于一個(gè)ε乘上一個(gè)東西，而這個(gè)ε可以盡量小，我發(fā)現(xiàn)很多這樣的zn。所以就差一點(diǎn)。

當(dāng)孿生素?cái)?shù)猜想出來(lái)時(shí)，有人說(shuō)我是大海撈針。但實(shí)際上不太對(duì)，孿生素?cái)?shù)實(shí)際上我沒(méi)有去撈什么針。

但是去找這個(gè)zn，我確實(shí)是在大海撈針。

我試了很多很多東西，包括用到像變分法啊，用積分方程去找最大特征根啊，最后都是有一個(gè)問(wèn)題：你可以在不同角度去找zn，找出來(lái)以后都是小于一個(gè)ε乘上一個(gè)數(shù)字，但這個(gè)ε你就是跨不過(guò)去，有點(diǎn)像我在做孿生素?cái)?shù)時(shí)那樣。

那最后是怎么去解決的呢？

這里我就想提到我在一開(kāi)始給出的第一個(gè)公式。我的一個(gè)最初的想法，就是最關(guān)鍵的一步，我為什么能達(dá)到一個(gè)這樣的證明。

第一步，我找到兩組序列，都可以寫(xiě)成是這種形式——

這兩組序列我都可以證明……（這里還是把它寫(xiě)出實(shí)數(shù)形式）

這個(gè)東西我不能證明它小于0，實(shí)際上嚴(yán)格算它就是不小于0，但可以證明它非常接近于0。

同時(shí)呢，我也可以證明對(duì)于cn和dn，下面這個(gè)結(jié)果也是接近于0的。

而且呢，證明這兩個(gè)關(guān)系式雖然看起來(lái)結(jié)果是一樣的，但證明的方法是完全不一樣的，是兩種完全不同的treatment。

于是，我們又有一種方式證明這個(gè)東西接近0，但不能證明它小于0。

那么這兩組序列有沒(méi)有可能發(fā)生沖突呢？有沖突，就能給出一個(gè)矛盾。于是我就用了這樣一個(gè)關(guān)系式。

出發(fā)點(diǎn)我們還是假定xn大于等于0。

然后我們用這樣一個(gè)關(guān)系式，也就是一開(kāi)始寫(xiě)的那個(gè)。

因?yàn)檫@個(gè)χn是非負(fù)的，χn我們就不需要取絕對(duì)值了。

我們?cè)儆眠@個(gè)關(guān)系式取一個(gè)絕對(duì)值，這里可以全部都取絕對(duì)值，減號(hào)就變成加號(hào)了。

我們有這樣一個(gè)關(guān)系式，但是我們可以證明，實(shí)際上可以假定χn是非負(fù)的，我們可以用柯西不等式來(lái)估計(jì)下面這個(gè)的上界。

最后我們發(fā)現(xiàn)我們得到一個(gè)矛盾（算這個(gè)和不如用柯西不等式），我們發(fā)現(xiàn)算這個(gè)東西是不對(duì)的，左邊應(yīng)該是比右邊的更大，于是用這個(gè)方式就推出矛盾來(lái)了。

大家有興趣的話可以翻譯一下我這篇文章，在第二節(jié)最后，我是用三個(gè)proposition就把它給弄下來(lái)了，然后剩下的就是去證明那三個(gè)proposition。

我們考慮一下數(shù)論的歷史，一開(kāi)始我們總是有這樣的問(wèn)題，要去構(gòu)造一個(gè)yn。第一個(gè)條件是，這個(gè)yn必須是非負(fù)的，或者什么樣，然后它乘以χn，加起來(lái)要小于0，要去構(gòu)造這樣一個(gè)yn。

最早是Brown在1718年 ，用默比烏斯函數(shù)的組合來(lái)構(gòu)造出這樣一個(gè)東西。

后來(lái)自從Selburg之后，yn就取成zn的平方，這個(gè)東西一直沿用下來(lái)。

當(dāng)時(shí)我在做孿生素?cái)?shù)猜想，我們也知道，yn等于zn平方，它只是一個(gè)能夠保證它大于等于0的充分條件，但不是必要條件，還有沒(méi)有別的形式 ？

有很多人想過(guò)，但目前為止沒(méi)有人想出來(lái)（yn不是這個(gè)平方的形式）。

在我在這里，似乎有一種新的辦法（更復(fù)雜），實(shí)際上我是引進(jìn)了4個(gè)序列。

最后如果這些χn都是大于0，我能推出矛盾來(lái)。

今天我就先講到這兒，這個(gè)東西作為介紹性的，我也只能講得比較初等一點(diǎn)。

PS：如有錯(cuò)誤，歡迎在留言中指正。

論文淺析

在這篇最新的論文中，張益唐教授提出了兩個(gè)定理。

第一，對(duì)于L(1,χ)的估計(jì)：

第二，可能存在的西格爾零點(diǎn)不大于：

其中，c1和c2都是正實(shí)數(shù)，且與D無(wú)關(guān)。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2211.02515

此前，張益唐教授證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文已經(jīng)廣泛流傳，由于全篇涉及解析數(shù)論等硬核知識(shí)，對(duì)于廣大網(wǎng)友的理解門檻還是相當(dāng)高的。

論文公布之后，來(lái)自知乎、B站、微博等媒體平臺(tái)的各路專業(yè)人士和UP主的解讀也為數(shù)不少了。

比如B站知識(shí)區(qū)UP「鈺子一」對(duì)這篇論文結(jié)論的初步解讀：

他的看法是，在假定張益唐教授的證明是正確的情況下（因?yàn)檎撐哪壳吧形唇?jīng)同行評(píng)議），這篇論文確實(shí)是距離證明真正的「零點(diǎn)猜想」最近的一次突破性成果。

下面是真正的「朗道-西格爾零點(diǎn)猜想」：

注意非零域的范圍，最后一項(xiàng)的指數(shù)為-1。

張益唐教授這次在論文中成功證明的定理1和定理2，其中2是1的推論：

可以看到，定理2的最后一項(xiàng)的指數(shù)為-2024，而原始的「零點(diǎn)猜想」的指數(shù)為-1。

換句話說(shuō)，這是目前關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想問(wèn)題上，已證結(jié)論和待證的「終極目標(biāo)」之間，距離最近的一次。

張益唐教授在文末表示，這個(gè)-2024的指數(shù)值，可以取得更大一些，但目前按照論文中的思路，可能取不到-1。

除了熱心網(wǎng)友的粗淺解析，來(lái)自山東大學(xué)的解析數(shù)論專家在「張益唐教授談朗道-西格爾零點(diǎn)猜想研究的新突破」中，也對(duì)張益唐教授這次的工作進(jìn)行了專業(yè)角度的解析。

由于全體模D的狄利克雷特征（Dirichlet character）的適當(dāng)線性組合，可以表示出模D算術(shù)級(jí)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)。因此，狄利克雷L-函數(shù)（Dirichlet L-series）與算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)分布問(wèn)題密切相關(guān)。

對(duì)于固定的狄利克雷特征，黎曼ζ函數(shù)的解析性質(zhì)大多容易推廣到相應(yīng)的狄利克雷L-函數(shù)上去。比如當(dāng)特征是復(fù)特征時(shí)，其L-函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)有類似的非零區(qū)域：

但是，當(dāng)特征是實(shí)原特征時(shí)，在區(qū)間

內(nèi)至多可能存在一個(gè)一階實(shí)零點(diǎn)，這里c是一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?shù)。

張益唐教授在最新預(yù)印本論文里證明了，模D的實(shí)原特征L-函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)沒(méi)有實(shí)零點(diǎn)，這里c是絕對(duì)實(shí)效正常數(shù)。如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。

專家指出，2024雖然大于1，但在數(shù)學(xué)意義上，與1并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的差別。

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想

1859年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在論文「論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)」中，首次提及這個(gè)猜想。

黎曼發(fā)現(xiàn)，質(zhì)數(shù)的分布跟某個(gè)函數(shù)有著密切關(guān)系：

這個(gè)公式中，s是復(fù)數(shù)，可以寫(xiě)成s=a+bi這樣的形式（a是s的實(shí)部、b是s的虛部、i則是根號(hào)負(fù)一）。

當(dāng)s的實(shí)部小于1時(shí)，整個(gè)級(jí)數(shù)和可能會(huì)發(fā)散。為了讓函數(shù)適用于更廣的范圍，黎曼把上面的ζ函數(shù)改寫(xiě)為：

當(dāng)s為負(fù)偶數(shù)（s= -2, -4, -6…）時(shí)，黎曼ζ函數(shù)為零。這些s的值，就稱為平凡零點(diǎn)。

不過(guò)，此外還有另一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數(shù)為零，它們被稱為非平凡零點(diǎn)。就是這些非平凡零點(diǎn)，對(duì)質(zhì)數(shù)的分布有著決定性影響。

到了這里，黎曼本人也無(wú)法證明了。

不過(guò)他做了一個(gè)猜測(cè)：黎曼ζ函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是1/2，或者說(shuō)黎曼ζ函數(shù)在1/2<x<1這一區(qū)域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。這就是黎曼猜想。

隨后的數(shù)學(xué)家們，在前人的基礎(chǔ)上繼續(xù)前進(jìn)。

為此，數(shù)學(xué)家狄利克雷引入了狄利克雷L函數(shù)。

對(duì)于這個(gè)函數(shù)，也有一個(gè)猜想：狄利克雷L函數(shù)在1/2<x<1這一區(qū)域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。這就是廣義黎曼猜想。

倪憶在文章「千呼萬(wàn)喚始出來(lái)，張益唐公布證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文」中解釋道，如果χ(n)的取值都是實(shí)數(shù)，那么L(s,χ)在

里最多只有一個(gè)零點(diǎn)，而且這個(gè)零點(diǎn)一定是實(shí)數(shù)。這個(gè)可能存在的零點(diǎn)被稱為西格爾零點(diǎn)。而朗道-西格爾零點(diǎn)猜想則斷言，西格爾零點(diǎn)是不存在的。

更確切地說(shuō)，存在一個(gè)正實(shí)數(shù)c，使得對(duì)于任何D和相應(yīng)的實(shí)特征χ，L(x,χ)在

時(shí)都不等于0.

倪憶表示，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是廣義黎曼假設(shè)的一種特殊情形，但這是一種非常重要也非常困難的情形。在很多解析數(shù)論問(wèn)題的研究中，都需要把西格爾零點(diǎn)單獨(dú)拿出來(lái)考慮。

所以一旦證明了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，就可以取得很多新突破，簡(jiǎn)化和加強(qiáng)很多經(jīng)典數(shù)論結(jié)果。

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